不经意中，他们又迎了重头戏的“π日”（以及紫色圣诞节）。2011年，国际性微积分联合会正式宣布正式宣布宣布，将每月的3月14日标为国际性微积分节。中学微积分教科书告诉他们，π的十进制部分是一个无限不循环十进制，不能简单他用平均分完全表示。所以值此π日之际，让他们重访中学的微积分知识，揭开π的神秘盖头。

某不存在的网站上欢庆π日的Doodle，2018年3月14日。值得一提的是图片上展示的是大厨Dominique Ansel为π日特别设计的乳酪。向下翻转下载详细食谱

资料来源：piday.org

（P.S.：小贴士当年Jarnisy只道食谱，如果有爸爸妈妈想在家尝试，小贴士只能说……其实没有苹果的乳酪还是蛮美味滴）

1 π的今生今生

π就是人们常说的近似值，是一个微积分物理量，定义为圆的边长和其直径约的差值。早在远古时代末期，人类就发现圆的边长与其直径约之间有着不为人知的秘密♂。有遗存显示，早在古埃及末期，当时的代数学已经将近似值的值推算出到25/8。

最早的有记录的严谨演算法可以回溯到公元前250年，古希腊微积分家笛卡儿透过正矩形演算法得到了π的上界与原函数分别为223/71与22/7，即3.140845< π <3.142857。

《沉思的笛卡儿》

艺术家

年数

类型

收藏地

Domenico Fetti

约1620年

Torigni版画

Gemäldegalerie Alte Meister，德累斯頓

笛卡儿求近似值的思路是首先构造圆内接矩形和对应的反义矩形。当边数足够是定值，两个矩形的边长便收敛于圆边长的上界与原函数。

思考题：怎样证明22/7>π？

提示：

点选第一页偷窥答案

在此之前，微积分家先后透过割圆术、无限数列等方式排序π的值。1706年，英国物理学家詹姆斯·Dicke已经可以利用rgi里-莱布尼兹数列产生的公式排序到π的第100位十进制。同样在这一年，亨利·史密斯在《新微积分专论》中第一个将π作为近似值的专用记号，但真正让各国微积分家接受这一设定的还要归因于恩里克巴德·笛卡儿。1736年，笛卡儿在其《力学》一书中开始使用记号“π”，此后微积分家们纷纷仿效。

《恩里克巴德·笛卡儿（1707-1783）》

艺术家

年数

类型

收藏地

Jakob Emanuel Handmann

约1756年

油彩

Deutsches Museum, 慕尼黑

恩里克巴德·笛卡儿，近代微积分先驱，有史以来最伟大的微积分家之一。法国微积分家拉普拉斯曾这样评价笛卡儿的贡献：“读读笛卡儿，他是所有人的老师。”

特别地，π的值为3.1415926535897......，不仅是一个无理数（也就是说π是无限不循环十进制），同时也是一个超越数（所谓“超越数”，是指不满足任何整系数多项式方程的实数的数）。

“超越数”一词出自笛卡儿1748年的评论：“它们超越代数方式所及的范围之外。”但直到1844年，其存在性才被法国微积分家刘维尔证明。

是的，小贴士介绍超越数就是为了发这张表情……所以看到的同学不转发评论点赞吗？

2 割圆术：典雅地排序π

说到π的排序，就不得不提大名鼎鼎的“割圆术”。约公元265年，微积分家刘徽创立了割圆术，用正3072边形排序出π的数值为3.1416。之后祖冲之在公元480年利用割圆术排序正12288边形的边长，得到近似值约等于355/113（即密率）。在之后的八百年内，这都是准确度最高的π估计值。

图片来源：wikipedia

祖冲之（429～500），字文远，南北朝刘宋微积分家。祖冲之给出了两个平均分值的近似值：22/7（“约率”）与355/113（“密率”），后者将近似值精确到十进制点后第7位，这一纪录直到一千多年后才由阿拉伯微积分家阿尔·卡西打破。

割圆术的原理如今看来十分简单，利用简单的中学微积分就可以论证。简而言之，就是将圆分割成矩形，分割来越细，矩形的边数越多，矩形的面积就和圆的面积越接近。

图片来源：bilibili

当然如果他们站在刘徽和祖冲之的时代思考，这里还有一个知识点亟待解决，即圆的面积与边长间的关系。同样利用中学微积分，他们得到 N边形的面积 = N边形的半边长 × N边形外接圆半径。

"N边形的面积 = N边形的半边长 × N边形外接圆半径"的证明

当N极是定值，其面积也就极为接近于圆，也就是 圆的面积 = (圆的边长/2) × 半径。这样也就成功地将圆的面积与边长联系了起来。利用Wolfram Cloud，他们可以很直观地演示割圆术的运算过程。（你问为啥不直接用Mathematica？远程办公的小贴士表示不卸载游戏的情况下硬盘没有足够的空间安装大型软件）

知识点:割圆术的迭代演算法

前文中只是粗略的介绍了割圆术的原理，在实际操作中还会遇到一些技术上的小问题。这里简单介绍割圆术的迭代演算法，有兴趣的同学可以用排序机模拟（有时间的同学可以试试像祖冲之一样笔算）。

如上图以O为圆心作圆O，然后构造正矩形。原则上，矩形可以为任意边。不失一般性，此处正六边形。从圆心O作某一条边的垂直平分线OB，连接AB即为圆O的内接正十二边形的一条边。OB与正六边形的边相交于点C。设 |OC| = H，|CB| = h，|OA| = R ，正六边形的边长 = M，正十二边形的边长 = |AB| = m。于是有

为了简便排序，令 |OA| = R =1，则有

于是他们得到了边长的迭代公式

前面已经论证过“N边形的面积 = N边形的半边长 × N边形外接圆半径”，又由定义得知近似值是“圆的边长和其直径约的差值”，故正N边形的面积（S），边长（m），外接圆半径（R）之间有

同样令 R =1，他们有

结合上面的迭代公式，显然可以得到

这里m和π的下标N表示结果是在正N边形的前提下求得的。显然，随着边数N的增大，求得的π的值也收敛于π的真实值。

3 无限数列：更典雅地排序π

利用割圆法排序近似值虽然思路比较简单，但在排序上还是比较繁琐，尤其是过去的微积分家不像小贴士这样可以借助Mathematica排序。至今利用矩形排序π最准确的结果是奥地利物理学家克里斯托夫·格林伯格在1630年得到的。为此格林伯格利用正10的40次方（也就是1后面40个0）边形，排序得到π的第38位十进制。为此，新的思路也就应运而生。

图片来源：wikipedia

弗朗索瓦·韦达（左）、詹姆斯·沃利斯（中）、戈特弗里德·莱布尼兹（右）。接下来介绍的方式就来自这三位大神。

韦达的无限乘积

图片来源：twitter@fetedayy

套娃警告：此处无法“禁止套娃”～

韦达给出的其实并不是无限数列，而是无限乘积。一般认为，韦达的这项工作是欧洲最早的有关无限项近似值的公式。虽然小贴士暂时没有考证到韦达最初是怎样完成这项证明的，不过利用他们中学的微积分知识基本可以完成证明。证明思路就是倍角公式。

等式两边同时除以x，有

这里需要借助一点大学的内容，利用极限

他们有

取 x = π/2，他们很容易得到

沃利斯乘积

沃利斯乘积，又称沃利斯公式，由英国微积分家詹姆斯·沃利斯于1655年发现。要严格证明这个等式步骤有些繁琐（也就是说各位读者老爷懒的看），所以他们借助笛卡儿（没错，又是他！）处理巴塞尔问题时使用的技巧来证明这一等式。（这里值得一提的是，笛卡儿当年“求解”巴塞尔问题的方式现在看来也是不完备的。）

首先考虑正弦函数的麦克劳林展开：

两边同除以x，得

考虑到方程 sin (x) / x = 0 的根位于 x = …，-2π，-π，π，2π，…处，所以有

令 x = π/2，

公式得证。

rgi里-莱布尼兹公式

上面提到的两个方式之所以比较有名，主要是因为提出的时间比较早。在实际排序过程中，人们更倾向于使用上面这个公式。它是由莱布尼兹于1674年发现，被称为rgi里-莱布尼兹公式。不过有的爸爸妈妈已经发现，这其实就是arctan函数的麦克劳林展开。由于太过于出名，相信大家已经烂熟于心，所以这里就不过多介绍公式的证明了。当x取1时，arctan函数恰好等于π/4，所以比起以往的演算法更为简单。

不过特别提醒想要亲自排序的同学，虽然rgi里-莱布尼兹公式看起来排序简洁，但其收敛速度非常慢，因此现在基本不会用此公式来排序近似值。这里推荐一个印度传奇微积分家拉马努金给出的公式

图片来源：wikipedia

斯里尼瓦瑟·拉马努金，20世纪印度传奇微积分家。他一生未受过正规的高等微积分教育，但具有极为敏锐的直觉。拉玛努金经常直接给出公式而不作证明，但而在他的理论在事后往往被证明是对的。微积分家哈代评论拉马努金的公式，有些他起先不能理解，但“它们肯定是真的，因为如果不是的话，没人能有足够的想像力来发明他们。”

彩蛋时间：一个不典雅的反面典型

在写作这篇文案的过程中，小贴士忽然想起了当年曾在人人网上看到过一篇文章介绍近似值的文章，小贴士的一个朋友（无中生友警告）一度深信不疑。

图片来源：reddit

文章小贴士没有搜到，不过倒是在发现有歪国人讨论的不亦乐乎～

令 p = ∞，确实会使 π = 4。但上图的证明显然是错误的。考虑到圆的边长本质上是导数的积分，这幅图的问题就在于，一致收敛函数的导数未必收敛。当然这个问题也可以从测度的角度来考虑，但无论是哪个角度，都不太可能在一篇文章里解释清楚。（更何况文章写辣么长，肯定没人愿意读）所以就让他们期待明年的3月14，继续他们的π日说π吧～（前提当然是各位读者老爷们千万不要取关啊～～～）

看完今天的科普，肯定会有同学觉得意犹未尽。那么问题来了，有没有这么一本书，可以在还原科学定理产生历史的同时，深入浅出地介绍其背后蕴含的科学道理呢？

央视“加油向未来”节目科学顾问曹则贤老师倾情巨献，收录数理史上数十例绝妙证明，涉及一百八十多位名家。因材施教，激励少年读者循着先哲开辟的道路前行。

来源：外研科学出版社

编辑：fengyao

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