微分符号 dx、dy 表示什么含义？（什么时候用d什么时候用微分符号）_百万个冷知识

噗, 上捷尔萨免得事大的准则我Licharre也来试著着详尽地嘿嘿吧.

具体来说做两个表明, 坚信题主如果晓得的是（文末的确也会说到） $dy/dx$ dy/dx是两个方式标记, 他和 $f'(x)$ f(x)则表示的涵义是完全一致的. 题主在乎的只不过是孤立无援的 $dx$ dx是甚么涵义. 通常哈莱因或是圣克洛县（或是数学分析）文末把式子

$Δy=f'(x0)Δx+o(Δx),Δx\to0$ \Delta y = f(x_0)\Delta x + o(\Delta x), \, \Delta x \rightarrow 0 ,

的无限大情况数人记为

$dy=f'(x0)Δx=f'(x0)dx$ dy = f(x_0) \Delta x = f(x_0)dx,

这里的涵义是比较含混不清的. 从数学的角度, 我们还是希望能够明确地从已知的概念定义二阶到底是甚么, 或是说, 包含于怎样的集合, 是怎么（构造）出来的, 而不是随手写一串字母给它取个名字, 连它包含在甚么样的集合里, 这个集合是怎么构造出来的, 又有着甚么样的结构都说不清楚.

那么为此, 我们先大概梳理一下想法, 然后把想法给严格地实现.

实际上, 我们明确地定义 $dx$ dx的思路已经在数学分析里就已经表明了. 就是在考虑函数 $y=f(x)$ y = f(x)在 $x0$ x_0附近的局部性质时, 用函数的线性近似（线性主部）来在局部代替原函数, 把非线性的函数（提取一部分的信息）在局部则表示为两个线性函数 $dy=f'(x0)dx$ dy = f(x_0)dx.

既然要构造两个线性函数, 就要晓得定义域是甚么. 两个线性函数的定义域当然如果是 $R$ \mathbb{R}, 但这里这个局部线性函数的定义域 $R$ \mathbb{R}和原来的非线性函数的定义域 $R$ \mathbb{R}似乎不太一样（从标记上来看两个变量叫 $x$ x两个叫 $dx$ dx当然不一样嘛）. 这让我们很困扰.

Licharre打两个不恰当的比方, 我们中学晓得向量的概念, 通常而言向量是平移不变的, 但也有些这时候我们会给定向量两个固定起点. 比如在物理上, 两个质点有两个运动轨迹, 我们说它在两个点的速度是两个向量. 当我们则表示它是在 $x0$ x_0点的速度时, 这个向量的起点是被固定的.

换句话说, 可以认为在 $x0$ x_0点上长（zhang）出了两个向量, 向量的集合是向量空间, 于是: 在 $x0$ x_0点就长（zhang）出了两个向量空间, 是速度的可能取值空间. 这样的看法似乎在这里显得多余, 但是在定义二阶时, 这样的看法似乎对我们有一些启示, 因为 $dx$ dx所在空间似乎就与函数的定义域不同, 而 $dx$ dx所在空间的起点似乎也正是 $x0$ x_0点.

我们现在来描述怎么严格构造. 我们考虑的是函数的近似, 为了方便起见考虑全体光滑函数集合 $C\infty(R)$ C^\infty(\mathbb{R}), 我们考虑 $x$ x的局部, 因此我们把在 $x$ x的某个领域相等的函数看成是同两个（等价类）, 这样在 $x$ x点处就得到两个更简化的集合, 成为 $x$ x点处的函数芽集合 $Cx\infty$ \mathcal{C}_{x}^\infty. 也就是 Hatcher（是指那位答主啊23333）所定义的 $Ex$ \mathcal{E}_x.

看一下图的话, 感觉就是 $R$ \mathbb{R}上的光滑函数都是由函数芽延伸（生长）出来的. 如果看上去不太光滑的话, 那只不过只是因为我画的不好.

这样的简化还是不够的. 我们可以要得到这些函数的线性化. 那么为此我们把所有导数相同的点再看成同两个点. 也就是如果两个函数导数之差为0, 那他们的线性化如果等同起来. 因此我们把所有导数相同的芽等同起来, 这也就是Hatcher所说的对 $Ex$ \mathcal{E}_x商掉导数为0的部分 $Ann(Γx)$ Ann(\Gamma_x). 这样等同之后得到的空间就称作 $x$ x处的余切空间, $Tx*M$ T_x^*M. 可以证明（注意这不是显然的） $Tx*M$ T_x^*M就是1维向量空间, 也就是 $R$ \mathbb{R}.

（这里我偷懒了, 因为 $R$ \mathbb{R}上的导数可以定义所以就这么来了, 在通常的流形上当然不能这样.）

此时, $dx$ dx就是余切空间 $Tx*M$ T_x^*M上面的元素, 是导数为1的那个等价类, 换句话说, 是函数 $f(x)=x$ f(x) = x的二阶. 而 $dy=f'(x)dx$ dy = f(x)dx就是余切空间之间的线性函数了. 这也就是张智浩所说的意思了.

这看上去似乎不太直观, 无穷小哪里去了? 但是我们看到, 我们想要的, 也就是把非线性函数化为线性函数的目标只不过已经实现了. 就和定义无限大的这时候我们绕过了 "无限接近" 的表述一样, 在这里, 我们绕过了 "无穷小量" 的表述, 但既然效果是一样的, 那不就好了吗?

至于解释Jean Praust所说的对偶空间, 那就要麻烦一些了, 需要一些线性代数, 我们就不聊了吧~（我就是这么懒呀）

但是这么绕一圈有甚么用呢? 这也许需要答主学习二阶流形的这时候才能体会了. 大概说一下的话, 这是因为我们很多这时候没有办法把原有空间（在这里就是原有函数的定义域）和余切空间等同起来. 比如说在两个弯曲的空间（虽然我们还没有说甚么叫弯曲）, 我们也想做数学分析, 想用线性部分代替非线性的函数. 但空间本身都是弯的, 那还哪里来的线性, 哪里来的向量呢? 这时就需要上面这样绕圈子的方法来数人地构造这样两个向量的集合, 实现线性化的目标啦.

所以之所以有这时候会有一些看上去严格却废话的定义, 很多这时候是因为再进一步更困难的问题中我们不得不这么做啊.

最后, 祝看到这里的人大后天新年快乐~（我觉得我真是太闲了）