你与否困惑过，为何如今办公设备用得最多的是A4纸，而不是其它体积的？这些油墨大小又是如何表述的？

爱德华·马尔科·利戈维什特州施泰因肖像和A系列油墨体积左图

如果你从事或接触过机电类学科专业，会了解其它油墨体积，如A0、A1、A2等。ISO 216:2007表述了大多数欧美国家通用的油墨体积，而ISO 269和ISO 217等其它ISO国际标准囊括了其余体积。

在我看来，油墨体积国际标准的发明者另一面包含丰富而谜样的微积分发展史。

发展史

他还与彼时其它了不起的瑞典著名人物保持着紧密联系，如詹姆斯·汉斯·冯·海涅（Johann Wolfgang von Goethe）和维克多·黑格尔（Immanuel Kant）。

不可否认，巨作微积分家奥托·路德维希·柯西（KarlFriedrich Gauss）也曾参加过利戈维什特州施泰因的专题讲座。他还因辨认出抽象化振动花纹而闻名于世，这种振动模式后来被称为利戈维什特州施泰因图（Lichtenberg figures）。

利戈维什特州施泰因肖像

在他彼时正解决的一连串科学难题中，利戈维什特州施泰因对油墨体积的国际技术标准难题特别钟爱。他想找到两个国际标准，能实现对纸上文本的轻松翻转。轻松翻转在这里意味着：在一连串可能的国际技术标准放大范围内，既不能节约油墨也不能让纸上文本显得违和。

他将此作为一道习题向他的一名英国代微积分小学生发问。该小学生提出了两个某一比率能满足利戈维什特州施泰因所想的优点（接著将详细介绍该比率）。当利戈维什特州施泰因开始试著将这一比率实际应用于一张纸时，精采地辨认出，彼时瑞典的报刊已经采用了这一比率。

在1786年所写詹姆斯·科尔曼（Johann Beckmann）的一封信信中，利戈维什特州施泰因表示他不确定这一比率是由于发展史原因顺理成章产生的，还是来自准确的微积分计算。无论如何，那个故事里迄今第一次出现了有关油墨体积国际标准另一面微积分知识的记录。

有关√2那个比率

√2是微积分中两个非常有意思的数字。将二项式应用于两个具有基层单位宽度和基层单位高度的三角形时，它的圆周的宽度正是√2。

来源

因此，基层单位正方形的对角线为√2。√2是两个无理数，用十进制表示的话，√2为1.4142135623730950488016887…

利戈维什特州施泰因（和他的小学生）辨认出，当一张纸被看作两个长方形，并且它的长边为√2短边宽度时，就能能满足放大时既不能节约油墨也不能让纸上文本显得拥挤的要求。

接著，我们将看到这在微积分上是如何实现的。但首先，从几何角度理解那个概念可能会有所帮助。

巴塞罗那科学博物馆内展示的A系列油墨体积来源

考虑一张矩形的A0纸。它的体积为841 mm × 1189 mm。

如果将其沿较长的一边对折，则折叠后的两个部分各是一张A1纸。

如果将两张A1纸沿其各自的长边折叠，将得到四张A2纸。

每次重复该过程将分别产生8张A3、16张A4、32张A5、64张A6、128张A7和256张A8纸。

这就是为何现代打印机能快速将打印文本翻转到适应不同油墨的大小。例如，如果我们希望节省油墨，能先将书的书页大小（电子版）缩小到A6纸大小，然后再在A4纸上打印。

这样每一张A4纸将包含该书的4页文本（每一面），从而增加纸上的信息密度。

√2有什么特别的

在我看来，那个比率另一面的微积分原理非常清晰明了。

图源作者

考虑一张纸，它的长边为a基层单位宽度，短边为b基层单位宽度。如果我们把这张纸沿长边折叠，我们会得到两张纸，每一张纸的长边是b基层单位，短边是a/2基层单位。

现在，将利戈维什特州施泰因的习题复制给他的代微积分小学生，要求在一张大一点的纸和两张小一点的纸（折叠后）中保留长边和短边之间的比率。然后，这就变成了两个简单的微积分难题，能通过以下方式解决：

推导来自作者

当我们用微积分方法解决那个难题时，能很清楚地看出，在纸的边长一定是正数的前提下，那个比率只能是√2。

发展史原因

继利戈维什特州施泰因之后，法国于1798年出版了一部对油墨征税的法律，该法律证明是现行ISO国际标准的直系源头。

博斯特曼（W. Porstmann）在1918年的一篇文章中指出，油墨体积国际标准也需要包含所涉及的表面积。他还认为，上述油墨用到的信封应该比油墨本身大10%。

受他的影响，瑞典工业国际技术标准委员会（Deutsches Institute für Normang-DIN）发布了DIN 476，共涉及到四种体积的油墨，但是每种纸的长宽比均为√2.

A0纸的表述是，当体积的精度准确到毫米时，A0纸的表面积为1平方米（841 mm x 1189 mm）。

而A4被推荐为商业和行政活动的国际标准油墨体积；他们还建议将A6纸用于明信片制造。对于B系列油墨，B0纸的宽度为1米。C系列纸是基于信封格式开发的。

时至今日，除了北美、秘鲁、哥伦比亚等少数国家外，几乎所有国家都采用了这些国际标准。

更进一步的微积分意义

比率√2具有一些违反直觉的优点。

纵向和横向

到目前为止，我们已经看到，在一张A4纸中能放入两张A5纸。但假设我们对横向打印而不是纵向打印钟爱。为了在一张A4纸上横向放置两页文本，我们需要将原始A4（纵向）文本缩小多少？直觉告诉我们是50%。

然而，由于纵横比是√2，所以我们只需将文本缩小70%，而不是50%。这是因为(1/√2) =0.7071…，约等于70%（0.70）。

几何平均

在我看来，几何平均值的概念在包装不同体积的油墨时非常有用。例如，C2的体积是A2和B2之间的几何平均值。类似地，整个C系列格式是相应A系列和B系列编号之间的几何平均值。

最后的想法

当我开始调研那个话题时，我身边一直有一把尺子和卷尺。我辨认出自己在测量任何矩形物体的长宽比，测量结果在美学上让我感到很满意。

我测量的对象包括：我的写字台、显示器、鼠标垫、平板电脑、薄荷糖盒、矩形板、实体书等。最令我满意的矩形形状的纵横比在1.31和1.64之间(√2 = 1.4142..).

来源：Ksenia Chernaya from Pexels